У кого-нибудь есть опыт работы в Грузии на иностранную компанию без контракта/договора и попытка легализовать это?

Да, все верно. Какие документы Вам нужны в дальнейшем для подтверждения легальности и официальности Вашей деятельности и соответствия ее заявленной, если банк либо налоговая спросит, решаете Вы сами. Можете сделать, например, договор публичной оферты и работать на основании данного договора, как вариант.