Машина не прошла тех осмотр, на устранение проблем дали месяц. Могу ли я на ней поехать в Россию из Финляндии для устранение ошибок?

Да, можете. Возьмите документ, который вам дали.

Поехать-то можете. Поскольку у вас нет действительного техпаспорта - то вас, скорее всего, не пропустит российская таможня. Выясняйте у них, как они к этому отнесутся.