Как можно самим поехать на арендованном машине из Батуми в Трабзон? На границе пропустят?

Вообще никак. Вас не выпустят из Грузии на грузинских номерах без внж. Чисто теоретически - найти машину с хозяином, сделать на нее страховку (ок. 100 лари) и возить с собой хозяина как мебель… но это будет крайне дорого.