Подскажите пожалуйста, могу ли я пересечь РФ границу с обычным паспортом, а на грузинской таможне показать УКР загран? Или чтобы выехать из РФ обязательно нужен загран?

Для выезда в Грузию нужен.

В Грузию можно пересечь только Загран паспортом. Летите в Армению внутренним паспортом РФ, а в саму Армению пересекайте украинским!.. после уже в Грузию.