У меня от прошлой машины номера на хранении в гаи Батуми. Сейчас покупаю машину в Тбилиси.

Из разных городов можно, но лучше на ресепшене уточнить процедуру, обычно чуть дольше.

Грузинские номера как я понял не хранятся физически, их каждый раз изготавливают заново. В Грузии неплохая цифровизация, а ещё у госномеров нет «регионов» - база гарантированно одна на всю страну. Так что не думаю что будут проблемы подтянуть нужный номер даже из другого города. В худшем случае, мне кажется, можно поставиться на учет в Тбилиси «как есть», а потом уже перегнать машину в Батуми и поставить те номера, что «лежат на хранении». Ну время и деньги лишние потратите, зато номера точно получите.