Подскажите, могут ли возникнуть проблемы, если в графе Национальность при покупке билета на рейс flyone Сочи Ереван, указано "Армения"?

Да, имеется в виду гражданство. Это корявый автоматический перевод, на многих языках национальность означает гражданство. А национальность в нашем понимании - слово "происхождение". Проблемы могут возникнуть, если обратят внимание и потребуют подтверждение гражданства.