А когда переводишь себе лари в бог с бизнеса на личный, есть ли возможность указать с какой валюты эти лари будут конвертироваться — с доллара или евро?

Переводите с одинаковых валют на такие же, например, доллары на доллары. Конверитруете сами, если нужно, с валюты в валюту. Конвертация при оплатах обычно идет через основную валюту счета.