Подскажите пожалуйста, если в другой стране с ребенком (2года) обратиться в посольство Таиланда для визы 2+1, на ребенка тоже надо получать визу? Подавать документы и платить пошлину? Или только маме?

Да, для каждого паспорта отдельный пакет документов.

Это зависит от вас. Если пограничник будет без настроения он может аннулировать вашу визу и поставить штамп вам и вашему ребёнку, так как ребёнок будет заведомо нарушать визовый режим (на деле ещё не видел таких примеров, но наверное не хочется быть тем самым первым кому это сделают). Как вариант, если не хотите делать визу ребенку (лучше конечно сделать) и хотите обезопасить себя, то можно сделать бронь билета для ребёнка, на вылет из Таиланда через допустим 25 дней. Как будто ребенок влетает всего на этот срок и улетает с бабушкой на родину, а вы на полный срок по визе.