Подскажите пожалуйста, если я официально останусь числится на работе в России, трудовая останется в отделе кадров, будут ли какие то проблемы при репатриации в Израиль или обязательно нужно уволиться?

Одно другому не мешает Это абсолютно разные вещи.

Двоюродный брат проходил КП еще работая на своем предприятии... Вообще никаких проблем.

Чисто теоретически, это повод докопаться, мол, вы не переезжаете, а просто за дарконом/ТМ собрались скататься. Но вообще можно попросить отдел кадров сделать заверенную копию трудовой книжки, чтобы было, что показать, люди так делают. "Планирую закончить дела в стране исхода за время действия визы" это вполне нормальное объяснение, думается мне.