Скажите пожалуйста, были ли такие случаи, когда границу переходили сразу в день день, то есть из Монголии в Россию и потом сразу же из России в Монголию? Такое возможно? Сами монголы говорят, что можно переходить так.

Можно, конечно, почему нет? Знакомый даже переходил российскую границу, до монгольской не доезжал, на нейтралке развернулся и сразу въехал обратно. Можете въехать в Монголию, потом сразу выехать, потом опять въехать, потом опять выехать - и так пока день не кончится. Другой вопрос, что у пограничников будут вопросы.