Я правильно понимаю, что нужно покупать билеты в Аргентину туда-обратно, и на это время показать бронь места жительства, чтобы на границе не было вопросов?

Подтверждение брони обычно не просят. Просят только адрес для регистрации.

Если планируете на короткий срок, то туда/обратно билеты можно в одной связке купить. Если будете оставаться, то обратный билет лучше купить отдельно, чтобы его можно было вернуть.