Подскажите пожалуйста, через сколько после окончания или отказа в продлении можно заехать снова в Турцию по безвизовым дням? ВНЖ до 24 сентября.

Если в законах ничего не поменялось, то при выезде до окончания внж (например до 23го сентября в вашем случае) и въезде после окончания внж (хоть 25го) - начнутся безвизовые дни.