Гражданство РФ, получила ВНЖ в Сербии. Читала, что нужно уведомлять о получении ВНЖ. Как это сделать, находясь в Сербии и при этом далеко от российского консульства?

Только если вы предте в рф. В остальных случаях по желанию.

Вы получили боровак Сербии, это по сути долгосрочная виза, а не внж, об этом нет необходимости уведомлять.

Не нужно.