Подскажите в Манавгате есть таможня, что бы поставить авто на учёт.

На какой учет? Не верьте интернету. У вас авто при въезде вносится в базу, это и есть «регистрация». На какое время (должно быть 90 дней (но бывает ставят на 60 всего) или до конца внж). Но лучше проверить дату до какой авто легально может находится в Турции, чтобы не было штрафов и проблем. Проверить можно в аэропорту на стройке кастомс, справа от регистрации.

Если Вы заехали как обычный турист из РФ по безвизу, то скорее всего Вашей машине на границе дали 90 дней, и больше никаких действий совершать не надо. Если Вы имеете в виду продление по ВНЖ, то для этих целей нужны таможни в порту (лимане) или аэропорту Анталии. В Манавгате/Сиде нет их. И главное - никому, кроме жены, детей, родителей не давайте на ней ездить. При временном вылете/выезде из Турции без машины, нужно уведомлять таможню.