У кого есть опыт репатриации в Израиль, скажите, могут ли быть проблемы, если проходить границу РФ не по документам РФ, а по паспорту израильскому?

Ну это прям нарушение закона прямое - загуглите А почему вы не хотите по документам РФ пройти?

Вас не выпустят из РФ.

Границу страны запрещено пересекать не по докам страны. От штрафа до уголовного срока. А авиакомпании по барабану.