Как вы думаете, может ли являться подтверждением твоей национальности еврея свидетельство/форма 4 о рождении твоих детей, где написано, что их отец, т. е. ты сам - еврей?

Вряд ли.

Нет. Консулы знают, что записаться можно кем угодно.

Внесение изменений в актовую запись стоит 650 рублей. Срок исполнения - месяц. И таким образом можно записаться кем угодно.

В совокупности с другими документами с аналогичной записью - да, само по себе - нет (недостаточно). Ничем не отличается от любых других случаев подтверждения национальности, плюс правило- чем «свежее» по времени документ, тем пристальнее его проверяют.