Подскажите пожалуйста ответ на мой вопрос: Если поехать поездом Вена - Будапешт Где можно будет поставить штамп о том, что я уехал из Вены и штамп, что я приехал в Венгрию?

Нигде ничего не проверяют, ни в аэропортах, ни на поездах.

Скорее всего «нигде», потому что это внутри Шенгена. Но вот потенциально нарваться на проверку документов между Австрией и Венгрией, например, при поездке на автобусе - очень даже возможно. А всякие лоукостеры типа Ryanair регулярно устраивали так называемый visa check для граждан третьих стран Лучше объясните - зачем вам этот штамп нужен? Потому что заверить свое присутствие в стране, наверное, можно через нотариуса или полицию.

Внутри шенгенской зоны пограничных контролей как таковых нет, поэтому штампы не ставят. Надо гуглить, как можно официально подтвердить свой въезд в Венгрию. В Испании, например, в полиции можно взять документ declaration de entrada в первые 72 часа после въезда.