Лечу с большим багажом (у меня кот и ручная кладь и 4 чемодана), как всё это перемещать с собой?

В аэропортах тележки есть для чемоданов, ну а без них дальше сложно, да.

В аэропорту вам возьмут тележки. В машину багаж водитель погрузит, и выгрузит. Ну а от машины уже своими силами прийдется, видимо.