Подскажите пожалуйста: Справку на вывоз животного нужно оформлять в каждой новой стране, куда привез животное, или это делается только в стране, где выдали паспорт?

В любой стране, откуда хотите вывозить Ес/шенген/ не ес - так как справку вы не можете получить без животного, и без справки с животными не можете ехать в страну получения паспорта. Это же логично . Получаете там справку, откуда везете .