Подскажите, пожалуйста, имеет ли смысл бегать по обменникам в России и искать доллары нового образца или курс на старые доллары (2001+) к бату не сильно ниже?

Ищите от 2006 и выше.

Только вернулись с Тая. Меняли и старые, и новые купюры - одинаково берут.. Ещё в Шереметьево при вылете в дютике покупали доллары (новые купюры) только за наличные рубли, и курс был такой же как по всей Москве.

Если вы из Москвы, то можно купить сразу баты в банке Приморье, мы так делали, это очень удобно. При приезде не нужно искать обменник. В этом банке очень хороший курс.