Подскажите, если у мамы и ребенка паспорта разных стран (РФ и Армения), какие могут быть проблемы при пересечении границы?

Интересно у вас.... Обязательно берите свидетельство о рождении. И уточняйте по правилам не России, а Армении, что нужно для вывоза ребенка за границу. Так как проверять вас будут тщательно именно армяне, когда вы будете выезжать из РА в РФ. Проверяют, кто куда вывозит ребенка-гражданина страны и нет ли похищения. Правила РА могут отличаться.