Можно ли получить регистрацию (с присутствием собственника) в отделении другого района Еревана, а не того, где находится квартира?

Сам спросил - сам узнал ответ: нет, нельзя. Разрешено только в паспортном столе по месту проживания. Так что придется ждать ближайшее свободное окно на сайте.