Если мой муж гражданин Ирландии, мне ведь нужна Шенгенская виза для поездки вместе с ним? Например, из Ирландии в Австрию? Если да, то я подаюсь как член семьи ЕС?

Да нужна, даже если он ирландец (в смысле по рождению гражданин), то нужна.

Нужна, подаетесь как член семьи ЕС, и она бесплатная.

Да нужна. Чтобы квалифицироваться как "член семьи гражданина ЕС" нужно либо ехать вместе, либо вы должны ехать к супругу(е) в ту страну. Виза бесплатная, и по правилам должна быть выдана "в кратчайшие сроки", и список документов отличается от обычной турвизы. Если вы не можете найти аппоинтмент - пишите в посольство, требуйте у них аппоинтмент вам организовать. У нас так сработало с посольством Франции.