Подскажите, пожалуйста, до какого числа августа обычно приходят приглашения на экзамен из Штудинколлег Германии, учеба в которых начинается с 1 октября? И присылают официально отказ или просто игнорируют?

По-разному, конкретной единой даты нет, зависит от вуза. Если экзамен в конце августа, то должны уже прислать. Если в середине сентября, то тоже в ближайшее время должны. Надёжнее им напрямую написать и спросить.