Подскажите, может кто в курсе, как поменять российское водительское удостоверение (закончился срок действия), находясь в Казахстане?

Никак. Ехать в РФ.

Байконур находится в аренде у РФ и там есть отдел ГИБДД. В него можно записаться через госуслуги. Это может быть проще, чем ехать в Россию.

Никак. Нужно ехать в РФ. Только так. В КЗ нельзя продлить российские права.