На какой минимальный срок нужно зарегистрироваться в гостинице в Уральске, чтобы получить у них справку? И возможен ди возврат за неиспользованный срок проживания?

Они сами подают документы в компетентные органы, возврат средств индивидуально для каждой гостиницы.

Нет такого, хоть на один день можно оставаться и попросить уведомление.