Подскажите, дает ли однократная шенген виза, выданная под поездку (например Французская) возможность перемещаться по другим странам Шенгенской зоны в период ее действия?

Если на визе нет красной пометки, что действительна для одной страны (99,9% что ее нет), то можно сколько угодно.

Перемещения внутри шенгена никак не помечаются, так что можно летать сколько угодно внутри ес пока не закончится виза.

Можно заехать во Францию и потом куда хотите и снова вылететь через нее.