Итальянская виза, въезжаю в Рим и остаюсь там на один день

По визе не может, может по фамилии, но наврядли будет это делать.. зачем, у вас итальянская виза и вы влетаете в первую страну Италию, далее это ваш выбор куда по ней ехать)

Нет.

Посмотреть не может, наверное, но нас на границе просили предоставить брони отелей в Италии и обратные билеты, рекомендую тогда сделать бумажки.