Если родственники жили и живут в Татарбунарском районе Одесской области (бессарабские болгары). Это дает право на получение румынского гражданства?

Болгарского точно даёт.

Не важно где жили ваши родственники. Важно что у них написано в СОР(свидетельство о рождении) в графе "национальность".

Румыния, в отличие от Болгарии, даёт не по «крови», а по «праву почвы». То есть, Ваш прямой предок до 3-го колена включительно (т. е. прадед) любой национальности (!!!) должен был родиться на территории Румынии с 1919 по 1939 год ( по числам и месяцам надо уточнять). Если этот район входил раньше в Измаильскую область, которая раньше входила в состав Румынии, то можете подаваться румынам. Но, румыны принимают только апостилированные документы. Если у вас советские свидетельства, то их надо получать на новых бланках и апостилировать. Если Вы гражданин РФ - то задача сложная, но вроде решаемая, если в Одесском архиве за вас по доверенности запросят документы. Вторая проблема в самой Румынии - граждане РФ стоят в «стопе» на рассмотрение документов. Документы принимают, но в приказ не выпускают до завершения всем известных событий.