При подаче на DNI и аргентинский паспорт рожденному в Аргентине обязательно присутствие обоих родителей? И для проставления гражданства РФ и загранпаспорта РФ в консульстве - обязательно обоим?

Кто подает тот и должен присутствовать. Если вы про ребенка, то там при получении свидетельства о рождении оба родителя нужны, а дальше уже может и один всё сделать.

Если женаты, то для подачи на дни может только один из родителей.