А если для открытия счета в банке в Армении нужен договор аренды - с подписанным черновиком будущей аренды через месяц и трудовым договором РА есть шанс получить одобрение?

С подписанным трудовым договором шанс есть мне кажется.

Есть, хоть и может потребоваться обойти несколько банков. С подписанным договором аренды и трудовым договором реально во всех банках, которые вообще работают с иммигрантами.