Как правильно сняться с постоянной регистрации по месту жительства в России, оставаясь при этом в Сербии?

Должна быть нотариально заверенная доверенность на того, кто будет это делать и представлять Вас.

Пойти в консульство, заверить там документ Заявление о снятии с регистрационного учета. Они могут его отправить в МВД рф или вы сами.