Подскажите в Новом Афоне, как с погодой, что стоит брать из вещей, и как обстоят дела с банкоматами?

Принимают практически везде, редко где не принимают.

Банкоматы только в районе Ракушки - один на входе в пещеру, другой в Магните за парком с лебедями, ну такое себе. Сбербанк Абхазии, без комиссии можно снять только с карты Мир. Оплатить переводом с любой карты можно практически везде, если тел без интернета - вам раздадут вайфай.