Подскажите, на границе Черногория - Босния обязательно требуется бумажка белого картона?

На верхней в двух из трех раз спрашивают. По нашему опыту.

Спрашивают.

Если у погранцов будут вопросы или в системе что-то не бьется, то должна быть.

Сколько раз ездили на границу с Боснией ни разу ещё не просили.

А в чём проблема? Вы регистрировались? Если да, но его не дали, просто зайдите в эту же туристичку ещё раз, они распечатают. На границе могут спросить, могут не спросить. Лучше иметь.