Подскажите, пожалуйста, при наличии только украинского свидетельства о рождении, а также украинского паспорта родителя, который НЕ получает визу, что указывать при подаче на CUAET?

Можете подаваться по свидетельству. Как члену семьи украинца (как ребенку украинца), если Вы старше 22 и/или женаты, если я не ошибаюсь, Вам не дадут визу. Тем более Ваш родитель не летит, поэтому как ребенок украинца Вы не можете подаваться, остаётся вариант только по свидетельству о рождении.