Если родители в разводе, то для консульства нужно перекрёстное согласие на разрешение ребенка на выезд из РФ на Кипр?

Для пересечения границы РФ с одним из родителей разрешение не нужно (если нет запрета от другого родителя), это только некоторые Консульства требуют для визы (про кипрское не знаю). Разрешение можно делать как с обычным так и с загранпаспортом.

Нужно.