Подали документы на боравак на ребёнка после нового года, но без договора аренды.

В вашем случае уже не будет По правилам ваш запрос уже должен быть аннулирован и вы нарушаете правила нахождения в стране. Вам лучше подойти в муп и решить этот вопрос до поездки.