Подскажите, пожалуйста, можно ли заходить в Стамбуле в мечети мужчинам и мальчикам в шортах?

Нет.

Можно, если придираются, выдают халаты или продают одноразовые.

Если шорты закрывают колени, проблем быть не должно. Если нет, то лучше конечно в длинных штанах. Опять же зависит от мечети. В Софию скорее всего пустят без проблем, а вот в небольшую локальную - скорее всего нет.