Скажите, пожалуйста, можно ли продлить боравак раньше окончания срока его действия в Черногории? То есть, например, если он истекает в июле, прийти в мае продлить?

Зависит от города, где-то принимают документы раньше, где-то нет. но новый будет с даты окончания предыдущего и забирать его надо будет +/- в районе даты окончания.

Не позже 30 до окончания и не раньше 40, если память мне не изменяет.