Подскажите, пожалуйста, в Монголии днём машины едут без света. Какие там правила по этому поводу?

Включать не обязательно, но если включите, то не накажут.

1 июня меня полицейский попросил включить днем ближний. В остальные дни не важно.

В Монголии ездят днём без ДХО (дневных ходовых огней) и ближнего света - если вы будете ехать с ДХО или ближним, вам будут иногда мигать встречные, типа "выключите свет, вы забыли", но никаких претензий полиция вам не выскажет. Если есть возможно выключить ДХО или ближний - лучше это сделать.