Обязательно ли получать загран паспорт в Белграде? Или можно в любой стране?

В любой.

Можете получить в Грузии 3 мес ждать запись 2.5 паспорт.

Можно в любой, но его придется ждать около 3 месяцев, и если у вас заканчивается загран и вы покинете страну, в которой подавали заявку на новый, вас могут не впустить обратно. Турция, например, не впускает иностранцев, у которых загран заканчивается больше чем через 3 месяца (если не ошибаюсь). И в таком случае вы не сможете забрать готовый паспорт.