Скажите, а k-eta достаточно заполнить 1 раз потом по ней ездить в Корею до срока ее окончания или нужно перед каждой поездкой на новую подавать?

Кета действует 2 года с момента одобрения.

Главное не превышаете сроки пребывания по ней. Для граждан России эот 60 дней непрерывного пребывания и 90 дней в течение полугода.

Вам нужно будет менять адрес пребывания на новый при поездке.