Вопрос таков. Можно ли самому находиться в Словакии в 17 лет?

Во многие университетские общежития, не селят до 18 лет.

Можно. Но Вам нужен представитель (тьютор) в Словакии. Это должен быть человек старше 18 лет с гражданством Словакии (возможно с ПМЖ), на которого будет выписана нотариальная доверенность от родителей/опекунов о представлении Ваших интересов в стране до Вашего совершеннолетия.