Работает ли рос. консульство в Подгорице, и можно ли там (и если да, то как много времени это займёт) сделать генеральную доверенность на родителя?

Можно, но очередь там неопределённой (большой) длинны.

На сайте у них записаться на июнь нельзя, все дни заняты, на следующий месяц система слотов не даёт, вместо этого идёт запись в лист ожидания. По почте тоже направляют регистрироваться на сайт - не понятно, как долго ожидание может продолжаться.