В разных консульствах можно одновременно регистрироваться в первичной очереди на подачу документов для заграничного паспорта или это запрещено?

Можно.

Не просто можно, а нужно. Выше шансы поймать дату хоть где-нибудь. Если старый паспорт заканчивается совсем скоро, то можно просто написать/позвонить в консульство, они запишут без отлавливания дат.