Подскажите, собираемся в Монголию, разрешение второго родителя надо? Ребенок едет с матерью.

Конечно.

И свидетельство о рождении не забудьте.

Если фамилии одинаковые с матерью, то только загранпаспорта. Если фамилии в паспортах разные, то надо подтвердить родство, а это делается только при помощи свидетельства о рождении, где записана мать. Никаких разрешений больше не надо.