Подскажите, пожалуйста, как можно доехать до Санкт-Петербурга или хотя бы до Пскова, через границу Латвии?

Нет вы все верно делаете. Поймать запись трудно. Они запись открывают по понедельникам раз в две недели с 9 до 12. У вас вообще есть основание для въезда и проведения отпуска там в июле? Без основания визы гражданам РФ не делают. За то время что вы потратили на поиск слотов, уже можно было сделать визу другого Шенгена и купить билеты в Ригу на июль через третью страну Шенгена.

Не мучайте маму, пусть едет Рига-Минск автобусом и далее в Питер поездом. Я так понимаю она гражданка РФ.

Ваша мама может спокойно ехать в Санкт-Петербург через Эстонию. Через Нарву, например. Ее обязаны выпустить в страну проживания через любую границу.