Нужно ли отказываться Российского гражданства при получении Сербского?

Сербское законодательство не запрещает иметь два паспорта, просто вроде как процедура будет упрощена, при отказе от предыдущего.

Нужно. Только если вы не получаете гражданство по браку с гражданином Сербии.