Подскажите, пожалуйста. Необходимо ли регистрироваться при приезде в Азербайджан где живёшь , если приехал на 2 месяца? Спрашивают ли это бумажку при выезде.

Свыше 15 дней-да.

При вылете у них есть данные о регистрации вашей.

Регистрироваться обязательно, если собираетесь ещё посещать Азербайджан, если нет, то ничего страшного, выпишут на границе штраф, но оплатить его можно уже дома, если собираетесь когда то вернуться, если нет, то и не надо.