Скажите, пожалуйста, как можно провезти кота через границу Казахстана на личном автомобиле, какие документы нужны?

Ничего надо, никто не смотрит, когда проходишь сухопутно границу.

Сделайте паспорт и чтобы в нём были отметки о всех прививках. Для подстраховки. Это максимум что может понадобится.